Medie, Momenti e Momenti Centrati

Indichiamo con g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ una funzione di una variabile aleatoria^5.10 .

Si definisce valore atteso (o media, media di insieme, media statistica) di g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ rispetto alla variabile aleatoria X la quantità:

E_X$$\left\{\vphantom{ g\left( x\right) }\right.$$g$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$ $$\left.\vphantom{ g\left( x\right) }\right\}$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$g$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$p_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx

che corrisponde ad una media (integrale) pesata^5.11 dei diversi valori g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$, ognuno con peso pari alla probabilità p_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$dx; la notazione E_X$\left\{\vphantom{ .}\right.$.$\left.\vphantom{ .}\right\}$ indica quindi^5.12 tale operazione di media integrale, assieme alla v.a. (x) rispetto a cui eseguirla.

Nel caso in cui g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = xⁿ, il valore atteso prende il nome di momento di ordine n e si indica come

m_X^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$} = E$$\left\{\vphantom{ x^{n}}\right.$$xⁿ$$\left.\vphantom{ x^{n}}\right\}$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$xⁿp_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx

Verifichiamo subito che m_X^{$\left(\vphantom{ 0}\right.$ 0$\left.\vphantom{ 0}\right)$} = 1. Il momento di primo ordine

m_X = m_X^{$\left(\vphantom{ 1}\right.$1$\left.\vphantom{ 1}\right)$} = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$xp_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx

prende il nome di media^5.13 della v.a. X (a volte denominata centroide), mentre con n = 2 si ha la media quadratica m_X^{$\left(\vphantom{ 2}\right.$2$\left.\vphantom{ 2}\right)$} = $\int_{-\infty }^{\infty }$x²p_X$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$dx.

Nel caso di variabili aleatorie discrete, i momenti sono definiti come m_X^{$\left(\vphantom{ n}\right.$n$\left.\vphantom{ n}\right)$} = $\sum_{i}^{}$x_iⁿp_i, in cui p_i = Pr$\left\{\vphantom{ x=x_{i}}\right.$x = x_i$\left.\vphantom{ x=x_{i}}\right\}$, pesando quindi le possibili realizzazioni x_i con le rispettive probabilità.

Nel caso in cui g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = $\left(\vphantom{ x-m_{X}}\right.$x - m_X$\left.\vphantom{ x-m_{X}}\right)^{n}_{}$, il relativo valore atteso e' chiamato momento centrato di ordine n, ed indicato come

$$\mu_{X}^{\left( n\right) }$$ = E$$\left\{\vphantom{ \left( x-m_{X}\right) ^{n}}\right.$$$$\left(\vphantom{ x-m_{X}}\right.$$x - m_X$$\left.\vphantom{ x-m_{X}}\right)^{n}_{}$$ $$\left.\vphantom{ \left( x-m_{X}\right) ^{n}}\right\}$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$$$\left(\vphantom{ x-m_{X}}\right.$$x - m_X$$\left.\vphantom{ x-m_{X}}\right)^{n}_{}$$p_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx

E' immediato constatare che $\mu_{X}^{\left( 0\right) }$ = 1 e che $\mu_{X}^{\left( 1\right) }$ = 0. Il momento centrato del 2^o ordine prende il nome di varianza, e si indica

$$\sigma^{2}_{X}$$ = $$\mu_{X}^{\left( 2\right) }$$ = E$$\left\{\vphantom{ \left( x-m_{X}\right) ^{2}}\right.$$$$\left(\vphantom{ x-m_{X}}\right.$$x - m_X$$\left.\vphantom{ x-m_{X}}\right)^{2}_{}$$ $$\left.\vphantom{ \left( x-m_{X}\right) ^{2}}\right\}$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$$$\left(\vphantom{ x-m_{X}}\right.$$x - m_X$$\left.\vphantom{ x-m_{X}}\right)^{2}_{}$$p_X$$\left(\vphantom{ x}\right.$$x$$\left.\vphantom{ x}\right)$$dx

Una relazione notevole che lega i primi due momenti (centrati e non) e' (^5.14):

$$\sigma^{2}_{X}$$ = m_X^{$\left(\vphantom{ 2}\right.$2$\left.\vphantom{ 2}\right)$} - $$\left(\vphantom{ m_{X}}\right.$$m_X$$\left.\vphantom{ m_{X}}\right)^{2}_{}$$

0.350000

La radice quadrata della varianza, $\sigma_{X}^{}$, prende il nome di deviazione standard. Mentre la media m_X indica dove si colloca il ``centro statistico'' della densità di probabilità, $\sigma_{X}^{}$ indica quanto le singole determinazioni della v.a. siano disperse attorno ad m_x.

In appendice 5.6.3 è presentata una interessante applicazione dell'operatore di valore atteso alla misura della quantità media di informazione presente in un messaggio, assieme ad una tecnica di codifica di sorgente idonea a ridurre la dimensione del messaggio al minimo, conservandone per intero il contenuto informativo.