Condizioni di Nyquist

Torniamo a riferirci alla (4.2) per osservare che, affinché x$\left(\vphantom{ nT_{s}}\right.$nT_s$\left.\vphantom{ nT_{s}}\right)$ dipenda da uno solo degli $\left\{\vphantom{ a_{k}}\right.$a_k$\left.\vphantom{ a_{k}}\right\}$, deve risultare

$$\left[\vphantom{ \left( n-k\right) T_{s}}\right. \left(\vphantom{ n-k}\right. \left.\vphantom{ n-k}\right) \left.\vphantom{ \left( n-k\right) T_{s}}\right] \left\{\vphantom{ \begin{array}{cl} 1 & se\; n=k\\ 0 & se\; n\neq k \end{array}}\right. \begin{array}{cl} 1 & se\; n=k\\ 0 & se\; n\neq k \end{array}$$ (4.3)

e cioè g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ deve passare da zero in tutti gli istanti multipli di T_s, tranne che per t = 0 dove deve valere 1; infatti, in tal caso si ottiene:

x$$\left(\vphantom{ nT_{s}}\right.$$nT_s$$\left.\vphantom{ nT_{s}}\right)$$ = $$\sum_{k}^{}$$a_k ^. g$$\left(\vphantom{ \left( n-k\right) T_{s}}\right.$$$$\left(\vphantom{ n-k}\right.$$n - k$$\left.\vphantom{ n-k}\right)$$T_s$$\left.\vphantom{ \left( n-k\right) T_{s}}\right)$$ = a_n

Le condizioni (4.3) prendono il nome di condizioni di Nyquist per l'assenza di interferenza intersimbolo (ISI, Inter Symbol Interference) nel dominio del tempo. Se una forma d'onda g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ soddisfa tali condizioni, allora viene detta impulso di Nyquist(^4.14).

Dalle condizioni di Nyquist nel tempo se ne derivano altre in frequenza, mediante i seguenti passaggi. Moltiplicando g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ per un treno di impulsi $\pi_{T_{s}}^{}$$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = $\sum_{k}^{}$$\delta$$\left(\vphantom{ f-kT_{s}}\right.$f - kT_s$\left.\vphantom{ f-kT_{s}}\right)$, si ottiene

g$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ ^. $$\pi_{T_{s}}^{}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\delta$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$

dato che g$\left(\vphantom{ nT_{s}}\right.$nT_s$\left.\vphantom{ nT_{s}}\right)$ = 0 e g$\left(\vphantom{ 0}\right.$ 0$\left.\vphantom{ 0}\right)$ = 1. Trasformando si ottiene:

1 = G$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*$${\frac{1}{T_{s}}}$$ ^. $$\Pi_{\frac{1}{T_{s}}}^{}$$$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$ = G$$\left(\vphantom{ f}\right.$$f$$\left.\vphantom{ f}\right)$$*$${\frac{1}{T_{s}}}$$ ^. $$\sum_{k}^{}$$$$\delta$$$$\left(\vphantom{ f-k\frac{1}{T_{s}}}\right.$$f - k$${\frac{1}{T_{s}}}$$ $$\left.\vphantom{ f-k\frac{1}{T_{s}}}\right)$$

Indicando con f_s = ${\frac{1}{T_{s}}}$ la frequenza di simbolo, risulta infine

$$\sum_{k}^{}$$G$$\left(\vphantom{ f-kf_{s}}\right.$$f - kf_s$$\left.\vphantom{ f-kf_{s}}\right)$$ = T_s

che rappresenta la condizione in frequenza per l'assenza di interferenza intersimbolo.

Il risultato ottenuto si interpreta considerando che una qualunque G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ va bene purché, se sommata con le sue repliche traslate di multipli di f_s, dia luogo ad una costante.

0.400000

In questo caso si dice che G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è una caratteristica di Nyquist. Notiamo che, seppure G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ possa essere qualsiasi, anche non limitata in banda, il nostro interesse è appunto per le G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ limitate in banda, come quella triangolare dell'esempio a lato.

Coseno Rialzato

Una famiglia parametrica di caratteristiche di Nyquist limitate in banda, è quella cosiddetta a coseno rialzato, che è composta da 2 archi di coseno raccordati da una retta (vedi Fig. 4.3). La banda occupata ha espressione

B = $${\frac{f_{s}}{2}}$$$$\left(\vphantom{ 1+\gamma }\right.$$1 + $$\gamma$$ $$\left.\vphantom{ 1+\gamma }\right)$$

in cui $\gamma$ è il coefficiente di roll-off^4.15, compreso tra 0 e 1, che rappresenta un indice di dispersione del ramo di coseno. La banda di G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ varia quindi da un minimo B = f_s/2 (per $\gamma$ = 0) ad un massimo di B = f_s (per $\gamma$ = 1 , nel qual caso G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ è proprio un periodo di coseno).

Il caso di banda minima si ottiene per $\gamma$ = 0, ottenendo G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = rect_fs$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$, corrispondente ad una g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = f_ssinc(f_st), come già discusso a pag. relativamente all'onda PAM. Occupare una banda inferiore a quella minima non è possibile, perchè in tal caso non sarebbero verificate le condizioni di Nyquist in frequenza, in quanto nella $\sum_{k}^{}$G$\left(\vphantom{ f-kf_{s}}\right.$f - kf_s$\left.\vphantom{ f-kf_{s}}\right)$ resterebbero dei ``buchi''.

Figura: a coseno rialzato e impulso di Nyquist corrispondente, al variare di $\gamma$

Abbiamo già osservato alla nota (7) a pagina come la realizzazione di G$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ a banda minima sia difficile, e produca eccessiva sensibilità agli errori di campionamento. La situazione però migliora decisamente usando $\gamma$ > 0, via via più grande. Con $\gamma$ $\neq$ 0 la g$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ ha espressione

g$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = sinc$$\left(\vphantom{ tf_{b}}\right.$$tf_b$$\left.\vphantom{ tf_{b}}\right)$$ ^. $${\frac{\cos \gamma \pi tf_{b}}{1-\left( 2\gamma tf_{b}\right) ^{2}}}$$

presentando una forma d'onda simile al ${\frac{\sin \left( x\right) }{x}}$, ma che va a zero molto più rapidamente, come valutabile visivamente osservando la Fig. 4.3. Pertanto, con $\gamma$ $\rightarrow$ 1 ogni singola onda g$\left(\vphantom{ t-kT_{s}}\right.$t - kT_s$\left.\vphantom{ t-kT_{s}}\right)$ estenderà il suo influsso ad un numero di impulsi limitrofi molto ridotto rispetto al caso $\gamma$ = 0 in quanto le oscillazioni sono molto più smorzate, e dunque il termine di errore di ampiezza in presenza di un errore di istante di campionamento è ridotto, in quanto dipende da un minore numero di impulsi limitrofi.