Medie di Insieme e Medie Temporali

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Medie di Insieme e Medie Temporali

Se fissiamo un particolare istante temporale t₀, il valore x $\left(\vphantom{ t_{0},\theta }\right.$ t₀, $\theta$ $\left.\vphantom{ t_{0},\theta }\right)$ è una variabile aleatoria, la cui realizzazione dipende da quella di $\Theta$ ; pertanto, è definita la densità p_X $\left(\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right.$ x $\left(\vphantom{ t_{0}}\right.$ t₀ $\left.\vphantom{ t_{0}}\right)$ $\left.\vphantom{ x\left( t_{0}\right) }\right)$ (indipendente da $\Theta$ ), che possiamo disegnare in corrispondenza dell'istante t₀ in cui è prelevato il campione^5.18; a tale riguardo, si faccia riferimento alla figura sottostante, che mostra le densità di probabilità definite a partire dai membri di un processo.

0.480000

$\resizebox* {0.48\textwidth}{!}{\includegraphics{cap5/f5.9.ps}}$

Definiamo media di insieme il valore atteso di una funzione dei valori del segnale, eseguito rispetto alla variabilità dovuta a $\Theta$ ; pertanto il momento di ordine n è ora scritto come

m_Xⁿ $\displaystyle \left(\vphantom{ t_{0}}\right.$ t₀ $\displaystyle \left.\vphantom{ t_{0}}\right)$	=	E $\displaystyle \left\{\vphantom{ x^{n}\left( t_{0},\theta \right) }\right.$ xⁿ $\displaystyle \left(\vphantom{ t_{0},\theta }\right.$ t₀, $\displaystyle \theta$ $\displaystyle \left.\vphantom{ t_{0},\theta }\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ x^{n}\left( t_{0},\theta \right) }\right\}$
	=	$\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty }$ xⁿ $\displaystyle \left(\vphantom{ t_{0},\theta }\right.$ t₀, $\displaystyle \theta$ $\displaystyle \left.\vphantom{ t_{0},\theta }\right)$ p $\displaystyle \left(\vphantom{ \theta }\right.$ $\displaystyle \theta$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \theta }\right)$ d $\displaystyle \theta$

Notiamo che in linea di principio, la media di insieme dipende dall'istante t₀ in cui è prelevato un valore.

Allo stesso tempo, possiamo fissare una particolare realizzazione $\theta_{i}^{}$ di $\Theta$ , e quindi identificare un singolo membro x $\left(\vphantom{ t,\theta _{i}}\right.$ t, $\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ t,\theta _{i}}\right)$ , che è ora un segnale certo^5.19; per lo stesso, possono quindi essere calcolate le medie temporali, indicate con una linea sopra alla quantità di cui si calcola la media $\overline{\left( .\right) }$ :

m_Xⁿ $\displaystyle \left(\vphantom{ \theta _{i}}\right.$ $\displaystyle \theta_{i}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \theta _{i}}\right)$ = $\displaystyle \overline{x^{n}\left( t,\theta _{i}\right) }$ = $\displaystyle \lim_{T\rightarrow \infty }^{}$ $\displaystyle {\frac{1}{T}}$ $\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}$ xⁿ $\displaystyle \left(\vphantom{ t_{0},\theta _{i}}\right.$ t₀, $\displaystyle \theta_{i}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ t_{0},\theta _{i}}\right)$ d $\displaystyle \tau$

In particolare, ritroviamo il valore medio m_X $\left(\vphantom{ \theta _{i}}\right.$ $\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \theta _{i}}\right)$ = $\overline{x\left( t,\theta _{i}\right) }$ = $\lim_{T\rightarrow \infty }^{}$ ${\frac{1}{T}}$ $\int_{-T/2}^{T/2}$ x $\left(\vphantom{ \tau ,\theta _{i}}\right.$ $\tau$ , $\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \tau ,\theta _{i}}\right)$ d $\tau$ e la potenza (media quadratica) m²_X $\left(\vphantom{ \theta _{i}}\right.$ $\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \theta _{i}}\right)$ = $\overline{x^{2}\left( t,\theta _{i}\right) }$ = $\lim_{T\rightarrow \infty }^{}$ ${\frac{1}{T}}$ $\int_{-T/2}^{T/2}$ x² $\left(\vphantom{ \tau ,\theta _{i}}\right.$ $\tau$ , $\theta_{i}^{}$ $\left.\vphantom{ \tau ,\theta _{i}}\right)$ d $\tau$ . Notiamo che una generica media temporale:

1) non dipende dal tempo;

2) è una variabile aleatoria (dipende infatti dalla realizzazione di $\Theta$ ).

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alef@infocom.uniroma1.it
2001-06-01