Distribuzione di Poisson ed Esponenziale negativa

Al crescere del numero N di utenti, l'utilizzo della distribuzione Binomiale può essere scomodo, per via dei fattoriali, e si preferisce trattare il numero di conversazioni attive k come una variabile aleatoria di POISSON, la cui densità ha espressione

p_P$$\left(\vphantom{ k}\right.$$k$$\left.\vphantom{ k}\right)$$ = e^{- $\alpha$}$${\frac{\alpha ^{k}}{k!}}$$

ed è caratterizzata da valor medio e varianza m_p = $\sigma_{P}^{2}$ = $\alpha$.

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La Poissoniana costituisce una buona approssimazione della ddp di Bernoulli, adottando per la prima lo stesso valor medio della seconda m_P = m_B = Np, come mostrato in figura. In generale, questa densità è impiegata per descrivere la probabilità che si verifichino un numero di eventi indipendenti e completamente casuali di cui è noto solo il numero medio $\alpha$(^6.4).

D'altra parte, al tendere di N ad $\infty$, il modello Bernoulliano adottato per questo fenomeno aleatorio perde di validità. Infatti, se N $\rightarrow$ $\infty$, il numero di nuove chiamate non diminuisce all'aumentare del numero dei collegamenti in corso. A questo scopo, si preferiscono descrivere gli eventi ``indipendenti e completamente casuali'' in base ad una frequenza media di interarrivo $\lambda$ che rappresenta la velocità^6.5 con cui si presentano nuove chiamate^6.6.

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L'inverso di $\lambda$ rappresenta un tempo, ed esattamente $\overline{\tau }_{a}^{}$ = 1/$\lambda$ è il valor medio della variabile aleatoria $\tau_{a}^{}$ costituita dall'intervallo di tempo tra l'arrivo di due chiamate. Con queste definizioni, è possibile riferire la v.a. di Poisson ad un intervallo temporale di osservazione t, durante il quale si presentano un numero medio $\alpha$ di chiamate^6.7 pari a $\alpha$ = $\lambda$t. Pertanto, possiamo scrivere la v.a. Poissoniana come

p_k$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = e^{- $\lambda$t}$${\frac{\left( \lambda t\right) ^{k}}{k!}}$$

che indica la probabilità che in un tempo t si verifichino k eventi (indipendenti e completamente casuali) la cui frequenza media è $\lambda$(^6.8).

 

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L'uso della poissoniana è intimamente legato (ma non viene qui dimostrato) al considerare il tempo di interarrivo tra chiamate come una variabile aleatoria completamente casuale^6.9, descritta da una densità di probabilità esponenziale negativa, espressa analiticamente come

p_E$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\lambda$$e^{- $\lambda$t}

per t $\geq$ 0 e mostrata in figura; tale v.a. è caratterizzata dai momenti m_E = ${\frac{1}{\lambda }}$ e $\sigma_{E}^{2}$ = ${\frac{1}{\lambda ^{2}}}$. La probabilità che un tempo di attesa (a distribuzione esponenziale) superi un determinato valore t₀ è allora subito calcolato come

Pr$$\left(\vphantom{ t>t_{0}}\right.$$t > t₀$$\left.\vphantom{ t>t_{0}}\right)$$ = $$\int_{t_{0}}^{\infty }$$$$\lambda$$e^{- $\lambda$t}dt = $$\left.\vphantom{ e^{-\lambda t}}\right.$$e^{- $\lambda$t}$$\left.\vphantom{ e^{-\lambda t}}\right\vert _{t_{0}}^{\infty }$$ = e^{- $\lambda$t₀}