Alice nel Paese della Matematica
ovvero Viaggio nel mondo dei sistemi di numerazione posizionali

Una modesta richiesta

Un giorno un saggio indiano di nome Sessa Nassir inventò il gioco degli scacchi.

In seguito il gioco fu presentato al re delle Indie, che, avendone valutata l’ingegnosità e la grande varietà di combinazioni possibili, fu tanto meravigliato che fece chiamare il suo suddito per ricompensarlo di persona: "Per la tua straordinaria invenzione" disse entusiasta il re "voglio compensarti con quel che desideri. Sappi che la mia generosità non ha limiti."

Il saggio rispose: "Grande è la tua bontà, o sovrano. Io non ti chiederò tanto. Desidero solamente che mi siano dati i chicchi di grano che saranno necessari per riempire le 64 caselle della mia scacchiera in modo tale che vi sia un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza, otto sulla quarta e così di seguito, raddoppiando ogni volta."

"La tua domanda mi sembra troppo modesta!" esclamò il monarca stupito. "Tu mi ferisci con il tuo desiderio così inadeguato alla mia benevolenza e trascurabile rispetto alle magnificenze che io potrei offrirti!"

Ma di fronte alle insistenze di Sessa, il re si rassegnò e ordinò al suo visir di far portare il sacco di grano che il saggio desiderava.

Qualche giorno appresso il sovrano si informò dal ministro per sapere se quello sciocco di Sessa fosse entrato in possesso della sua magra ricompensa. "I contabili addetti non hanno ancora finito le operazioni. Sperano tuttavia di riuscirvi prima dell’alba", venne risposto al re. 

Ma il giorno seguente i contabili ufficiali non erano ancora riusciti a determinare la quantità di grano dovuta a Sessa. "Perché mai tanta lentezza nel risolvere un problema così elementare?" domandò il re esasperato. "Ordino che questa faccenda sia sistemata prima di domani". 

L’indomani l’ordine restò inevaso. Corrucciato, il re congedò i contabili, giudicandoli incompetenti. Ma il giorno dopo quelli ingaggiati al loro posto non fecero di meglio.

Alla fine di parecchi giorni di lavoro affannoso, il responsabile del gruppo dei contabili si presentò al monarca per comunicargli il risultato. "E allora!? "chiese il re impaziente, "avete dato a Sessa ciò che gli spetta ?". 

"O buon sovrano, perdonami, ma devo dirti che, malgrado la tua potenza e la tua ricchezza, non è in tuo potere fornire questa quantità di grano. Vuotando tutti i granai del regno, il numero di chicchi di grano che ne otterresti sarebbe trascurabile rispetto a questa enorme quantità". 

"Vieni ai fatti!". "I chicchi di grano che il saggio desidera sono esattamente....

La SCACCHIERA del saggio (e furbo) MATEMATICO

(colui che sa fare i suoi conti!)

Attenzione! Se mettiamo un chicco di grano per il valore di ogni potenza indicata sulla scacchiera, sai quanti chicchi occorrerebbero?

Esattamente: 18.446.744.073.709.551.615

Prova a leggere questo numero!

(Ti aiuto: 18 quintilioni 446 quadrilioni 744 trilioni 73 miliardi 709 milioni 551 mila 615)

"Decisamente", rispose il sovrano ammirato, "il gioco inventato da questo saggio è tanto ingegnoso quanto è sottile la sua richiesta!".

A tale risultato si può pervenire in modo assai più veloce dei matematici indiani , utilizzando un semplice metodo rinvenuto su tavolette cuneiformi del 200 a.C. Infatti si osserva che:

1+2+4+8 = 15 = 16-1

se si sostituiscono le corrispondenti potenze del 2 si ottiene:

2° + 2¹ + 2² + 2³ = 2⁴ - 1

per cui, iterando il procedimento, si ottiene:

2° + 2¹ + 2² ... + 2⁶³ = 2⁶⁴ - 1

Alice pensò: "Che potenza le potenze!"

La storia le aveva messo una gran curiosità e così cominciò a ripassare mentalmente ciò che l’insegnante le aveva spiegato riguardo le potenze e soprattutto i ...